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The exceptional sets for functions of the Bergman space in the unit ball
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 4 (1993) no. 2, pp. 79-85.

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Let \( D \) be a domain in \( C^{2} \). Given \( w \in C \), set \( D_{w} = \{ z \in C \mid (z,w) \in D\} \). If \( f \) is a holomorphic and square-integrable function in \( D \), then the set \( E(D,f) \) of all \( w \) such that \( f ( \cdot, w) \) is not square-integrable in \( D_{w} \) has measure zero. We call this set the exceptional set for \( f \). In this Note we prove that whenever \( 0 r 1 \) there exists a holomorphic square-integrable function \( f \) in the unit ball \( B \) in \( C^{2} \) such that \( E(B,f) \) is the circle \( C(0, r) = \{z \in C \mid |z| = r\} \).
Sia \( D \) un dominio in \( C^{2} \). Per ogni \( w \in C \) sia \( D_{w} = \{ z \in C \mid (z,w) \in D\} \). Se \( f \in L^{2} \) è olomorfa in \( D \), allora l'insieme \( E(D,f) \) dei \( w \) per cui \( f ( \cdot, w) \) non è in \( L^{2} (D_{w}) \) ha misura nulla. \( E(D,f) \) denota l'insieme eccezionale per \( f \). In questa Nota si dimostra che per ogni \( r \), essendo \( 0 r 1 \), esiste una funzione \( f \in L^{2} \), olomorfa nel disco \( B \) di \( C^{2} \), per cui \( E(B,f) = \{ z \in C \mid |z|= r\} \). 
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[1] P. Jakóbczak, The exceptional sets for functions from the Bergman space. Portugaliae Mathematica, 50, N° 1, 1993, 115-128. | fulltext EuDML | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[2] B. W. Šabat, Introduction to Complex Analysis. Nauka, Moskva 1969 (in Russian). | MR