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On the eigenvalues of an elliptic operator \( a(x,H(u)) \)
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 3 (1992) no. 2, pp. 107-110.

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Let \( \Omega \) be a bounded open convex set of class \( C^{2} \). Let \( a(x,H(u)) \) be a non linear operator satisfying the condition (A) (elliptic) with constants \( \alpha \), \( \gamma \), \( \delta \). We prove that a number \( \lambda \ge 0 \) is an eigenvalue for the operator \( a(x,H(u)) \) if and only if the number \( \alpha \lambda \) is an eigen-value for the operator \( \Delta u \). If \( \lambda \ge 0 \) , the two systems \( a(x,H(u)) = \lambda u \) and \( \Delta u = \alpha \lambda u \) have the same solutions. In particular, also the eventual eigen-values of the operator \( a(x,H(u)) \) should all be negative. Finally, we obtain a sufficient condition for the existence of solutions \( u \in H^{2} \cap H_{0}^{1} (\Omega) \) of the system \( a(x,H(u)) = b(x,u,Du) \) where \( b(x,u,p) \) is a vector in \( \mathbb{R}^{N} \) with a controlled growth.
Sia \( \Omega \) un aperto limitato di classe \( C^{2} \) e convesso. Sia \( a(x,H(u)) \) un operatore non lineare che verifica la condizione {A) (è ellittico) con costanti \( \alpha \), \( \gamma \), \( \delta \). Si dimostra che il numero \( \lambda \ge 0 \) è un autovalore per l'operatore \( a(x,H(u)) \) se e solo se il numero \( \alpha \lambda \) è un autovalore per l'operatore \( \Delta u \). Se \( \lambda \ge 0 \), i due sistemi \( a(x,H(u)) = \lambda u \) e \( \Delta u = \alpha \lambda u \) hanno le stesse soluzioni. In particolare anche gli eventuali autovalori dell'operatore \( a(x,H(u)) \) sono tutti negativi. Si ottiene infine una condizione sufficiente per l'esistenza di soluzioni \( u \in H^{2} \cap H_{0}^{1} (\Omega) \) del sistema \( a(x,H(u)) = b(x,u,Du) \) dove \( b(x,u,p) \) è un vettore di \( \mathbb{R}^{N} \) ad andamento controllato. 
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Campanato, Sergio. On the eigenvalues of an elliptic operator \( a(x,H(u)) \). Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 3 (1992) no. 2, pp. 107-110. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1992_9_3_2_a3/

[1] S. Campanato, Non variational differential systems. A condition for local existence and uniqueness. Proceedings of the Caccioppoli Conference, 1989, to appear. | MR | Zbl

[2] S. Campanato, Sistemi differenziali del 2° ordine di tipo ellittico. Quaderno 1 del Dottorato di Ricerca in Matematica, Catania 1991.

[3] S. Campanato, A Cordes type condition for nonlinear non variational systems. Rend. Acc. Naz. delle Scienze, vol. 13, 1989, 307-321. | MR | Zbl