Geodesic
On a functional equation arising in the kinetic theory of gases
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 1 (1990) no. 2, pp. 139-149.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

The problem of finding the summational collision invariants for the Boltzmann equation leads to a functional equation related to the Cauchy equation. The solution of this equation is known under different assumptions on its unknown \( \psi \). Most proofs assume that the equation is pointwise satisfied, while the result needed in kinetic theory concerns the solutions of the equation when the latter is satisfied almost everywhere. The only results of this kind appear to be due to the authors of the present paper. Here the problem is tackled with the aim of giving a simple proof that the most general solution of the problem is not different from the standard one when the equation is satisfied almost everywhere in \( \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{S}^{2} \) and \( \psi \) is assumed to be measurable and finite a.e.
Il problema di trovare gli invarianti d'urto per l'equazione di Boltzmann porta a un'equazione funzionale legata all'equazione di Cauchy. La soluzione di questa equazione è nota sotto diverse ipotesi sull'incognita \( \psi \). La maggior parte delle dimostrazioni sono basate sull'ipotesi che l'equazione sia soddisfatta puntualmente, mentre il risultato richiesto nella teoria cinetica riguarda le soluzioni dell'equazione quando questa è soddisfatta quasi ovunque. I soli risultati di questo tipo sembrano dovuti agli autori del presente lavoro. Qui si affronta il problema con lo scopo di dare una dimostrazione semplice del fatto che la soluzione più generale non è diversa da quella usuale anche quando si ritiene l'equazione soddisfatta quasi ovunque in \( \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{S}^{2} \) e \( \psi \) misurabile e finita quasi ovunque. 
@article{RLIN_1990_9_1_2_a10,
     author = {Arkeryd, Leif and Cercignani, Carlo},
     title = {On a functional equation arising in the kinetic theory of gases},
     journal = {Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni},
     pages = {139--149},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 9, 1},
     number = {2},
     year = {1990},
     zbl = {0703.76062},
     mrnumber = {255199},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1990_9_1_2_a10/}
}
TY  - JOUR
AU  - Arkeryd, Leif
AU  - Cercignani, Carlo
TI  - On a functional equation arising in the kinetic theory of gases
JO  - Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
PY  - 1990
SP  - 139
EP  - 149
VL  - 1
IS  - 2
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1990_9_1_2_a10/
LA  - en
ID  - RLIN_1990_9_1_2_a10
ER  - 
%0 Journal Article
%A Arkeryd, Leif
%A Cercignani, Carlo
%T On a functional equation arising in the kinetic theory of gases
%J Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
%D 1990
%P 139-149
%V 1
%N 2
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1990_9_1_2_a10/
%G en
%F RLIN_1990_9_1_2_a10
Arkeryd, Leif; Cercignani, Carlo. On a functional equation arising in the kinetic theory of gases. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 1 (1990) no. 2, pp. 139-149. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1990_9_1_2_a10/

[1] C. Cercignani, Mathematical Methods in Kinetic Theory. Plenum Press, New York 1969. | MR | Zbl

[2] C. Cercignani, The Boltzmann Equation and Its Applications. Springer Verlag, New York 1988. | DOI | MR | Zbl

[3] L. Boltzmann, Uber das Wârmegleichgewicht von Gasen, auf welche âussere Krafie wirken. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften Wien, 72, 1875, 427-457. | Jbk 07.0683.03

[4] L. Boltzmann, Uber die Aufstellung und Integration der Gleichungen, welche die Molekular hewegungen in Gasen hestimmen. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften Wien, 74, 1876, 503-552.

[5] T. H. Gronwall, Afunctional equation in the kinetic theory of gases. Annals of Mathematics, (2) 17, 1915, 1-4. | Jbk 45.0514.01 | DOI | MR

[6] T. H. Gronwall, Sur une équation fonctionelle dans la théorie cinétique des gaz. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 162, Paris, 1916, 415-418.

[7] T. Carleman, Problèmes Mathématiques dans la Théorie Cinétique des Gaz. Almqvist & Wiksell, Uppsala 1957. | MR | Zbl

[8] H. Grad, On the kinetic theory of rarifiedgases. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2, 1949, 331-407. | MR | Zbl

[9] C. Truesdell - R. G. Muncaster, Fundamentals of Maxwell's Kinetic Theory of a Simple Monatomic Gas. Academic Press, New York 1980. | MR

[10] C. Cercignani, Are there more than five linearly independent collision invariant for the Boltzmann equations?. J. Statistical Phys., to appear, 1990. | DOI | MR | Zbl

[11] L. Arkeryd, On the Boltzmann equation. Part II: The full initial value problem. Arch. Rat. Mech. Anal., 43, 1972, 17-34. | MR | Zbl