Wave-number-independent theology in a sphere

Caputo, Michele

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 81 (1987) no. 2, pp. 175-207.

Abstract (VO)

We determine the displacement vector and the relaxation caused by time varying surface tractions on a spherical Earth model whose anelastic properties are described by a class of stress strain relations representing a wide variety of rheologies including the Maxwell model and the type which approximates polycrystalline halite and granite. It is seen that this class of rheologies is almost wave number independent, and that once a solution is found for a boundary condition whose time variation does not depend on the wave number, then an approximate solution is found for any other boundary condition with the same geometry. We then study the particular case of the Burger solid and see that its relaxation is described by three different exponentials, one of which is rigorously wave number independent, whereas the other two are weakly wave number dependent. We also study the general solution of the equations of elasticity for a spherical Earth model with assigned surface tractions when the stress-strain relations are defined using derivatives of fractional order and find a subclass of models having the same relaxation time; we see that the relaxation time is not sufficient to describe the rheology of a medium but that the relaxation of the medium needs a much more detailed description in the time domain. This rheology causes a splitting of the free modes in a set of very close lines in the frequency domain. We discuss the effect of successive glacial loads on the Earth for this subclass of models and find it is possible to still see today the effect of more than one glaciation and that the effect of the last glaciation may be masked by the quasi-fossil effect of the previous ones. A relation between migration of isotherms and rheology is also considered. We show that the reciprocity theorem of Betti is valid also with the stress strain relations of the generalized Maxwell models. We finally find a general solution of the equations which govern the deformation of an elastic sphere with Maxwell rheology.

Riassunto

Si trovano il vettore spostamento ed il rilassamento causati da forze variabili nel tempo agenti in una sfera le cui proprietà reologiche sono descritte da una vasta classe di modelli che generalizzano in vari modi quello di Maxwell. Si verifica che queste reologie sono quasi indipendenti dal numero d'onda e che quando si trova la soluzione di un problema per una specifica funzione temporale dei vincoli, una soluzione approssimante è immediatamente trovata per qualsiasi altra funzione temporale e per la stessa distribuzione geometrica dei vincoli. Si fanno anche alcune applicazioni a problemi della geofisica. Si studia il caso particolare del solido di Burger e si vede che il suo rilassamento è descritto da tre esponenziali uno dei quali è rigorosamente indipendente dal numero d'onda, mentre gli altri due ne sono debolmente dipendenti. Si studia anche la soluzione generale delle equazioni dell'elasticità per una sfera con assegnate condizioni al contorno nel caso che le relazioni fra sforzo e deformazione contengano derivate di ordine reale e si trova una classe di modelli che hanno lo stesso tempo di rilassamento. Si vede che il tempo di rilassamento non è sufficiente per descrivere una reologia e che questa richiede una descrizione più dettagliata. Si vede inoltre che in questo tipo di reologia si ha una moltiplicazione di tutte le righe spettrali a formare bande attorno alle righe del modello elastico perfetto. Si trova anche una soluzione generale delle equazioni che governano le deformazioni di una sfera con reologia regolata dal modello di Maxwell. Si dimostra anche la validità del teorema di reciprocità di Betti nel caso delle reologie di Maxwell generalizzate. Si discutono infine una relazione fra migrazione di isoterme e reologia nonché l'effetto di successivi periodi glaciali.

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