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Osservazioni sullo spazio dei moduli delle curve trigonali
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 70 (1981) no. 2, pp. 96-100.

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Let $C$ be an algebraic projective smooth and trigonal curve of genus $g \ge 5$. In this paper we define, in a way equivalent to that followed by A. Maroni in [1], an integer $m$, called the species of $C$, which is a birational invariant having the property that $0 \le m \le \frac{g+2}{3}$ and $m—g \equiv 0$ mod(2). In section 1 we prove that for every $g (\ge 5)$ and every $m$, as before, there are trigonal curves of genus $g$ and species $m$. In section 2 we define the space $\mathcal{M}_{g,3;m}^{1}$ of moduli of trigonal curves of genus $g$ and species $m$. We note that $\mathcal{M}_{g,3;m}^{1}$ is irreducible and unirational and we prove that $dim \, \mathcal{M}_{g,3;m}^{1} = 2g+2—m$ if $m \ne 0$ and $dim \, \mathcal{M}_{g,3;0}^{1} = 2g+1$. As Corollaries we obtain the following facts: the general trigonal curve of even genus is of species $0$, the general trigonal curve of odd genus is of species 1 and the space $\mathcal{M}_{g,3}^{1}$ of moduli of trigonal curves of genus $g$ is unirational. The results of this note are valid over any algebraically closed field of any characteristic. 
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[1] A. Maroni (1946) - Serie lineari speciali sulle curve trigonali, «Ann. di Mat. Pura e Appl.», 25 IV. | Zbl

[2] E. Arbarello e M. Cornalba. Footnotes to a paper of Beniamino Segre, preprint.

[3] F. Severi (1922) - Sul teorema di esistenza di Riemann, «Rend, del Circolo Mat. di Palermo», XLVI.

[4] B. Saint-Donat (1973) - On Petri's analysis of the linear sistem of quadrics through a canonical curve, «Math. Ann.», 206. | fulltext EuDML

[5] P. Griffiths e J. Harris (1978) - Principles of algebraic geometry, Wiley. | Zbl

[6] W. Fulton (1969) - Hurwitz schemes and irreducibility of the moduli of algebraic curves, «Ann. of Math.» 90. | Zbl

[7] D. Mumford (1965) - Geometric invariant theory, Springer-Verlag.

[8] C. Turrini (1979) - Gli automorfismi delle rigate geometriche razionali, «Ist. Lombardo Rend. Sc.» A, 113. | Zbl

[9] R. Hartshorne (1977) - Algebraic geometry, Springer-Verlag. | Zbl