Rings whose finitely generated torsion modules in the sense of Dickson decompose into direct sums of cyclic submodules

Facchini, Alberto

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 68 (1980) no. 1, pp. 13-21

Résumé

Si studia la struttura dei moduli di torsione secondo Dickson sui $d$-anelli, ossia sugli anelli commutativi per i quali ogni modulo finitamente generato di torsione nel senso di Dickson si decompone in una somma diretta di sottomoduli ciclici. Si ottiene che un modulo di torsione secondo Dickson su un $d$-anello è una somma diretta di sottomoduli ognuno dei quali è canonicamente un modulo di torsione (nel senso usuale) su un dominio di valutazione discreta completo o su un anello locale Artiniano a ideali principali. Si estendono poi alcuni risultati già noti per altre teorie della torsione alla teoria della torsione di Dickson sui $d$-anelli. In particolare, denotato con $\mathcal{R}_{\mathcal{D}}$ l'anello dei quozienti di $\mathcal{R}$ rispetto alla topologia di Dickson $\mathcal{D}$, si studia sotto quali ipotesi il modulo $\mathcal{R}_{\mathcal{D}}/\mathcal{R}$ abbia anello degli endomorfismi commutativo e quando tale anello degli endomorfismi coincida con il completamento di Hausdorff di $\mathcal{R}$ nella topologia $\mathcal{D}$.