On bounded and total biorthogonal systems spanning given subspaces

Terenzi, Paolo

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 67 (1979) no. 3-4, pp. 168-178

Résumé

Siano $Y$ e $Z$ due sottospazi quasi complementari di uno spazio di Banach separabile $B$. È noto (Vinokurov) che $B$ ha una $M$-base unione di una $M$-base di $Y$ e di una $M$-base di $Z$; inoltre è noto (Milman) che, se $\{y_{n}\}$ è una $M$-base di $Y$, esiste una successione $\{z_{n}\}$ di $Z$ tale che $\{y_{n}\} \cup \{z_{n}\}$ sia una $M$-base di $B$. Recentemente Ovsepian-Pelczynski, dando una risposta affermativa ad un problema da lungo tempo irrisolto, hanno dimostrato che $B$ ha sempre una $M$-base uniformemente minimale. Tale risultato pone allora la questione se sia possibile estendere alle $M$-basi uniformemente minimali il Teorema di Vinokurov e quello di Milman. Si dimostra, nel presente lavoro, che tale estensione non è possibile; anzi, se $\{y_{n}\}$ è una successione completa in $Y$, si dimostra che in generale non esiste una successione infinita $\{z_{n}\}$ di $Z$, tale che $\{y_{n}\} \cup \{z_{n}\}$ sia uniformemente minimale, anche nel caso di $\{y_{n}\}$ basica.