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Teoremi di confronto e di separazione per equazioni differenziali alle derivate parziali in uno spazio di Hilbert
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 58 (1975) no. 5, pp. 675-679 Cet article a éte moissonné depuis la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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The classical Sturm comparison and separation theorems have been generalized by M. Picone and by G. Cimmino to partial differential equations and to systems of ordinary and partial differential equations [1]. In [2] G. Cimmino has proved the Sturm theorems for mappings valued in $l^{2}$. Recently several authors [3, 4, 5, 6, 7] have studied the Sturm theorems for ordinary and partial equations with solutions taking their values in $\mathbf{R}$ or $\mathbf{R}^{n}$. C. Pontini [8] has proved a Sturm theorem for ordinary equations whose solutions take their values in a Banach algebra. In my work I prove Sturm comparison and separation theorems for linear homogenous selfadjoint partial differential equations of the second order whose solutions take their values in a Hilbert space. I suppose that a non-trivial solution of a differential equation taking its values in a Hilbert space vanishes on the boundary of a smooth domain $D \subset \mathbf{R}^{n}$ and I prove that a solution of another related differential equation with solutions taking their values in $\mathcal{L}(H)$ has not an inverse in at least a point of $D$. Fundamental theorems are (2) and (3) from which we obtain the identity (4) which is the basis for Sturm theorems. 
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[1] G. Cimmino (1936—14) - Teoremi di confronto fra equazioni o sistemi di equazioni differenziali lineari del second'ordine, «Seminario Mat. R. Univ. di Roma», (4) 1, 3-24. | Zbl

[2] G. Cimmino (1933) - Sui sistemi di infinite equazioni differenziali lineari con infinite funzioni incognite, «Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.» (6) 5 (8), 271—318. | Zbl

[3] C. Clark e C. A. Swanson (1965) - Comparison theorems for elliptic differential equations, «Proc. Am. Math. Soc.», 16, 886-890. | DOI | MR | Zbl

[4] J. B. Diaz e J. R. Mclaughlin (1969) - Sturm separation and comparison theorems for ordinary and partial differential equations, «Atti Accad. Naz. Lincei, Mem. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.», (8) 9, 133-194. | MR

[5] K. Kreith (1968) - A generalized Picone identity, «Atti Accad. Naz. Lincei, Rend.», 45, 217-220. | MR | Zbl

[6] K. Kreith (1969) - A Sturm theorem for strongly elliptic systems and applications, « Bull. Am. Math. Soc.», 75, 1025-1027. | DOI | MR | Zbl

[7] L. M. Kuks (1968) - Sturm' theorem and oscillation of solutions of strongly elliptic systems, «Soviet Math. Doklady», 3, 24-27. | Zbl

[8] C. Pontini (1973) - Un teorema di confronto per equazioni differenziali astratte, «Boll. Un. Mat. Ital.», (4) 8, 117-126. | MR | Zbl