Periodic solutions of certain third order differential equations

Ezeilo, J. O. C.

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 57 (1974) no. 1-2, pp. 54-60

Résumé

Questa Nota considera le equazioni della forma \begin{equation*} \tag{1} \dddot{x} + \psi(\dot{x}) \ddot{x}+ \varphi(x) \dot{x} + \theta(x) = p(t) + q(t,x,\dot{x}) \end{equation*} dove $\psi, \varphi, \theta, p,q$ sono funzioni continue dei loro argomenti $p(t+\omega) = p (t)$, $q(t+\omega,x,y) = q(t,x,y)$ per $\omega > 0$, $\omega$ costante, e $t,x,y$ qualunque. Nel caso speciale $q \equiv 0$ e $\int_{0}^{t} p(s) \, ds$ limitato per $t$ qualunque allora la (1) ha una soluzione $\omega$-periodica se esistono due costanti $a \ne 0$, $k \ge 0$ tali che \begin{equation*} \tag{i)} x \, \theta(x) \, \text{sgn} \, a \le 0\quad , \quad (|x| \ge h); \end{equation*}\begin{equation*} \tag{ii} \qquad \left( \int_{0}^{y}\psi(s) \, ds - ay \right) = 0 (1) \quad \text{per} \quad |y| \to \infty. \end{equation*}. Se (i) è sostituita dalla condizione più restrittiva $x \, \theta(x) \, \text{sgn} \, a \le -\delta 0$ ($|n| \ge h$) l'esistenza di una soluzione periodica vale per l'equazione (1) per $|q(t,x,y)| \le \alpha + \beta |x|$ con $\alpha + \beta$ costanti e $\beta \delta$.