Majoration et minoration presque sûre optimale des éléments de la statistique ordonnée d'un échantillon croissant de variables aléatoires indépendantes

Deheuvels, Paul

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 56 (1974) no. 5, pp. 707-719

Résumé

Se $\{ X_{n}; n= 1,2, \cdots \}$ è una successione di variabili aleatorie indipendenti aventi una stessa legge e si designa con $X_{1,n} \le X_{2,n} \le \cdots \le X_{n,n}$ la statistica ordinata rispetto all'ordine crescente delle $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$, qui vengono studiate le successioni numeriche $M_{n,m(n)},m_{n,m(n)}$ tali che per n sufficientemente grande si abbia $m_{n,m(n)} \le X_{m(n),n} \le M_{n,m(n)}$. Principalmente si studiano siffatti inquadramenti per $m(n) = m$ costante, da un lato per scale di funzioni a crescenza di tipo logaritmico e, dall'altro, dando condizioni necessarie e sufficienti relative alle successioni $m$ ed $M$ affinché esse realizzino un tale inquadramento. Questo problema è già stato risolto in (1), (2) per $X_{1,n}$ ed $X_{n,n}$ e qui si danno dimostrazioni esplicite per i risultati ottenuti. I metodi qui utilizzati possono venire generalizzati al caso di $m(n)$ variabile, come si mostrerà in un successivo lavoro.