Geodesic
Calotte di tipo (m, n) in uno spazio di Galois $S_{r,q}$
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 53 (1972) no. 1-2, pp. 71-81.

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This paper deals with the study of $\{k,n\}$-caps of a Galois space $S_{r,q}$$(r \ge 3,q > 2)$, that is of the sets of $k$ points of $S_{r,q}$ for which the maximum number of collinear points is $n$. Boundaries for $k$ ensuring that $\{k,n\}$-caps exist are given. Then we get a deeper insight of $\{k,n\}$-caps of the type $(m,n)$, that is, $\{k,n\}$-caps having only $m$-secant and $n$-secant lines. We prove in fact that, if such a cap exists and does not coincide with a hyperplane or with the complementary set of a hyperplane in $S_{r,q}$, then $q$ must be an odd square and $m$, $n$, $k$ are necessarily given by (54), (55), (62) respectively. 
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[1] A. Barlotti, Sui $\{k,n\}$-archi di un piano lineare finito, «Boll. U.M.I.», (3) 11, 553-556 (1956). | fulltext EuDML | MR

[2] B. Segre, Lectures on modern Geometry, Cremonese, Roma, 1961. | MR | Zbl

[3] B. Segre, Introduction to Galois Geometries, «Mem. Acc. Naz. Lincei», (8) 8, 133-236 (1967). | MR | Zbl

[4] M. Tallini Scafati, Sui $\{k,n\}$-archi di un piano grafico finito, «Rend. Acc. Naz. Lincei», (8) 40, 1-6 (1966). | MR

[5] M. Tallini Scafati, $\{k,n\}$-archi di un piano grafico finito, con particolare riguardo a quelli con due caratteri, «Rend. Acc. Naz. Lincei», (8) 40, (1966). Nota I, 812-818, Nota II, 1020-1025. | MR | Zbl

[6] M. Tallini Scafati, Caratterizzazione grafica delle forme hermitiane di un $S_{r,q}$, «Rend. di Matematica», 26, 273-303 (1967). | MR