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Questioni di finitezza nelle categorie abeliane
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 52 (1972) no. 3, pp. 291-300.

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The existence of abelian categories with a finite number of objects or with finite Homs is investigated. Thus a complete characterization of categories having a finite number of objects and morphisms, with products and a zero-object, is given. The non existence of abelian categories with a finite number of objects, non finite Hom and with endomorphisms satisfying the following condition is then proved: every endomorphismis a mono-epimorphism. An example of abelian category with a unique non zero-object and non finite Hom is finally obtained. 
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[1] P. Freyd, Abelian categories, Arper and Row, 1964.

[2] P. Gabriel, Des categories abeliennes, «Bull. Soc. Math. de France», 90, 323-448 (1962). | fulltext EuDML | MR | Zbl

[3] S. Maclane, Categorical algebra, «Bull. Am. Math. Soc.», 71, 40-106 (1965). | DOI | MR | Zbl