Un problème de calcul variationnel

Bădescu, Radu

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 50 (1971) no. 5, pp. 562-567

Résumé

In questo studio si tratta di trovare un arco di curva $OM_{0}$ (di curvatura $1/\rho \neq 0$) sul quale un punto materiale $M$ si muove con attrito da $M_{0}$ verso l'origine sotto l'azione di un campo di forze $\bar{F}(M)$ dipendenti dalla posizione di $M$ in un tempo minimo $T$. Le quattro condizioni necessarie e sufficienti di Euler, Weierstrass, Lagrange, e Jacobi essendo soddisfatte, esiste un minimo relativo (nel senso forte) del funzionale $T(y)$ che'dà il valore $T$. In particolare, nel caso del campo gravitazionale costante, l'estremale cercata è una cicloide. Si osserva che la condizione di Jacobi corrisponde ad una equazione di Riccati e il suo integrale-generale permette d'affermare che non esistono dei punti coniugati ai punti $M_{0}$ e $O$, dunque nel campo della estremale del problema posto è raggiunto il minimo relativo $T$.