A Further Generalization of the Second Isomorphism Theorem in Group Theory

Tamaschke, Olaf

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Série 8, Tome 47 (1969) no. 1-2, pp. 1-8

Résumé

Sia $\bf{T}$ un semigruppo di Schur sul gruppo $G$. I sottogruppi $H$ e $K$ di $G$ soddisfacciano alla $HK = KH$; e $H$ ed $HK$ siano entrambi $\bf{T}$-sottogruppi di $G$ (risultino cioè unioni di $\bf{T}$-classi di $G$). In queste condizioni $\bf{T}$ induce un semigruppo di Schur $(\bf{T}_{HK})_{HK/K}$ su $HK$, semigruppo che (con riferimento alla moltiplicazione fra complessi) è generato dagli insiemi del tipo $k \mathfrak{T} K$, con $\mathfrak{T}$ variabile nella totalità delle $(\bf{T}$-classi di $G$ contenute in $HK$. In questa Nota sarà dimostrato che gli insiemi del tipo $K \mathfrak{T} K \cap H$, con $\mathfrak{T}$ variabile in quella tal totalità, generano (con riferimento alla moltiplicazione fra complessi) un semigruppo di Schur, $\bf{\Sigma}$, su $H$; che $\varphi : Y \to Y \cap H \,\, (Y \in (\bf{T}_{HK})_{HK/K})$ fornisce una trasformazione isomorfa avente per dominio $(\bf{T}_{HK})_{HK/K})$, semigruppo di Schur su $HK$, e per codominio $\bf{\Sigma}$, semigruppo di Schur su $H$; e che $\psi : X \to XK \,\, (X \in \bf{\Sigma})$ è l'inversa di $\varphi$. Il significato di questo teorema consiste in ciò, che nella situazione descritta un semigruppo di Schur su un gruppo «grande» $HK$ può essere sostituito con una sua immagine isomorfa, semigruppo di Schur sul gruppo $H$ «più piccolo» e perciò spesso più semplice nella sua struttura. Se per $\bf{T}$ si sceglie il gruppo $G$ e per $K$ un sottogruppo normale di $G$, il risultato precedente si riduce al secondo teorema sugli isomorfismi nella teoria dei gruppi.