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Analisi di Fourier e ricostruzione di segnali a partire da dati campionati
La Matematica nella società e nella cultura, Série 1, Tome 5 (2012) no. 3, pp. 399-444.

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Questo articolo si propone di spiegare le basi matematiche, legate all'analisi di Fourier, della ricostruzione dei segnali a partire da dati campionati a passo uniforme (ossia da una successione discreta dei loro valori numerici), ed analizzare le condizioni sotto cui è possibile pervenire ad una ricostruzione esatta ovunque, senza perdite (a parte naturalemnet gli arrotondamenti numerici). La risposta è nota da molti decenni (teorema di Shannon), ed anzi era nota ai matematici da molto prima: la ricostruzione esatta è possibile se il segnale ha trasformata di Fourier a supporto compatto ed il campionamento è sufficientemente fitto. La presentazione è indirizzata ad un pubblico non specialistico, ma non intende essere puramente divulgativa: viene accennata l'idea di quasi tutte le dimostrazioni,sebbene non i dettagli. La ricostruzione dei segnali continui a partire dai loro campionamenti discreti puoÁ essere ottenuta da una manipolazione intelligente dell'istogramma dei dati in base a techiche di analisi di Fourier: qui questa manipolazione è resa rigorosa grazie alla teoria delle distribuzioni, che viene brevemente accennata. Infine, si fa qualche cenno sui campionamenti a passo non uniforme.
We explain how to reconstruct exactly a continuous signal (apart from numerical round-offs) starting from a sequence of its values sampled on a grid ofuniform step. The mathematics of this reconstruction is based upon Fourier Analysis, and requires that the signal has bounded Fourier spectrum and the sampling step is sufficiently small: this fact has been widely known for a long time (the Shannon sampling theorem is dated 1948, but the mathematicians knew all this much before). Our account of these facts avoids all mathematical technicalities but gives most statements and ideas. The steps to process the discrete samples in order to reconstruct the continuous signals can be based upon a smart handling of the data histogram via Fourier techniques. This may seem just a practical, heuristic approach, but our presentation makes it rigorous, by clarifying the connection between the discrete and continuous sides through distribution theory (briefly outlined). Finally, we state some recent results about reconstruction from non-uniform sampling. 
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[1] A. Aldroubi, Grochenig, Non-Uniform Sampling and Reconstruction in Shift-Invariant Spaces, SIAM Review 43 no. 4 (2001), 585-620. | DOI | MR | Zbl

[2] W. L. Briggs - V. E. Henson, The DFT: An Owner's manual for the Discrete Fourier Transform, SIAM, Philadelphia, 1995. | MR | Zbl

[3] S. Campanato, Lezioni di Analisi Matematica, vol. 2, Giordano Pellegrini editore, Pisa, 1966.

[4] P. De Mottoni, Complementi di Matematica, voll. 1 e 2, Aracne, Roma, 1992.

[5] H. Dym - H. P. Mckean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, New York, 1972. | MR | Zbl

[6] V. A. Kotelnikov, On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications, Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (tradotto in inglese e commentato da C. C. Bissel e V. E. Katsnelson, http://ict.open.ac.uk/classics/1.pdf). | MR

[7] H. Landau, Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions, Acta Math. 117 (1967), 37-52. | DOI | MR | Zbl

[8] S. M. Nikolsky, Corso di Analisi Matematica, vol. 2, MIR, Mosca, 1975 (traduzione italiana 1981).

[9] M. A. Picardello, Analisi armonica: aspetti classici e numerici, Università di Roma ``Tor Vergata'', 2011 (www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/Anal.Armon./LIBRO.pdf).

[10] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1966. | MR | Zbl

[11] W. Rudin, Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1991. | MR | Zbl

[12] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, Parigi, 1951. | MR

[13] C. E. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, Bell System Techn. Journ. 1 (1948), 379-423 e 623-656 (http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html). | DOI | MR

[14] C. E. Shannon, Communication in the presence of noise, Proc. Institute of Radio Engineers, 37, no. 1 (1949), 10-21 (ristampato in Proc. IEEE 86, n. 2 (1998) (http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf). | MR

[15] E. T. Whittaker, On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, 35 (1915), 181-194. | Zbl

[16] J. M. Whittaker, Interpolatory Function Theory, Cambridge Tracts in Mathematics and Math. Physics 33, Cambridge University Press, Cambridge, England, and Macmillan, New York, 1935 (recensione: E. Hille, Bull. Amer. Math. Soc. 42, n. 5 (1936), 305-306, (http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183498841)).

[17] A. Zygmund, Trigonometric Series, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1959 (revisione 1968). | MR