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In this paper we investigate the contribution of Dehn to the development of non-Archimedean geometries. We will see that it is possible to construct some models of non-Archimedean geometries in order to prove the independence of the continuity axiom and we will study the interrelations between Archimedes' axiom and Legendre's theorems. Some of these interrelations were also studied by Bonola, who was one of the very few Italian scholars to appreciate Dehn's work. We will see that, if Archimedes' axiom does not hold, the hypothesis on the existence and the number of parallel lines through a point is not related to the hypothesis on the sum of the inner angles of a triangle. Hilbert himself returned to this problem giving a very interesting model of a non-Archimedean geometry in which there are infinitely many lines parallel to a fixed line through a point while the sum of the inner angles of a triangle is equal to two right angles.
Cet article présente les contributions de Max Dehn au développement des géométries non archimédiennes. Un moyen pour montrer l'indépendance de l'axiome d'Archimède par rapport aux axiomes d'incidence et d'ordre est de construire des modèles de géométries non archimédiennes. Les travaux de Max Dehn dans ce champ concernent pour l'essentiel les relations entre l'axiome d'Archimède et les théorèmes de Legendre. Quelques-unes de ces liaisons ont été aussi étudiées par Bonola, un étudiant d'Enriques, qui est parmi les rares Italiens à avoir apprécié le travail de Dehn. Un des principaux résultats, lorsque l'axiome d'Archimède n'est pas satisfait, est que l'axiome des parallèles est indépendant de celui de la somme des angles internes d'un triangle. Hilbert lui-même revint sur ce problème en construisant un modèle de géométrie non archimédienne dans lequel il y a une infinité de droites passant par un point et parallèles à une droite donnée, alors que la somme des angles internes d'un triangle est égale à deux angles droits.
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Cerroni, Cinzia. The contributions of Hilbert and Dehn to non-archimedean geometries and their impact on the italian school. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 13 (2007) no. 2, pp. 259-299. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RHM_2007__13_2_259_0/