Geodesic
Basilejský problém devětkrát jinak
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Tome 67 (2022) no. 4, pp. 201-222
Cet article a éte moissonné depuis la source Czech Digital Mathematics Library

Voir la notice de l'article

V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.
V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.
Classification : 11M06, 40A25 
@article{PMFA_2022_67_4_a0,
     author = {Haluza, Jan},
     title = {Basilejsk\'y probl\'em dev\v{e}tkr\'at jinak},
     journal = {Pokroky matematiky, fyziky a astronomie},
     pages = {201--222},
     year = {2022},
     volume = {67},
     number = {4},
     zbl = {07729602},
     language = {cs},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022_67_4_a0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Haluza, Jan
TI  - Basilejský problém devětkrát jinak
JO  - Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
PY  - 2022
SP  - 201
EP  - 222
VL  - 67
IS  - 4
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022_67_4_a0/
LA  - cs
ID  - PMFA_2022_67_4_a0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Haluza, Jan
%T Basilejský problém devětkrát jinak
%J Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
%D 2022
%P 201-222
%V 67
%N 4
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022_67_4_a0/
%G cs
%F PMFA_2022_67_4_a0
Haluza, Jan. Basilejský problém devětkrát jinak. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Tome 67 (2022) no. 4, pp. 201-222. http://geodesic.mathdoc.fr/item/PMFA_2022_67_4_a0/

[1] Apostol, T. M.: A proof that Euler missed: evaluating $\zeta (2)$ the easy way. Math. Intelligencer 5 (1983), 59–60. | DOI | MR

[2] Došlá, Z., Novák, V.: Nekonečné řady. 3. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2013.

[3] Dunham, W.: Euler: The Master of us all. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1999. | MR

[4] Haluza, J.: Sčítání nekonečných řad a Basilejský problém. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2022. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/bazus/

[5] Harper, J. D.: Another simple proof of $1 + \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots = \frac{\pi ^{2}}{6}$. Amer. Math. Monthly 110 (2003), 540–541. | MR

[6] Havil, J.: Gamma: Exploring Euler’s constant. Princeton University Press, Princeton, 2003. | MR

[7] Jankov, A.: Basilejský problém. SOČ, Ostrava, 2016. Dostupné z: http://soc.nidv.cz/archiv/rocnik38/obor/1

[8] Nahin, P. J.: In pursuit of zeta-3: The world’s most mysterious unsolved math problem. Princeton University Press, Princeton, 2021. | MR

[9] Pace, L.: Probabilistically proving that $\zeta (2)=\pi ^2/6$. Amer. Math. Monthly 118 (2011), 641–643. | DOI | MR

[10] Perkins, D.: $\varphi $, $\pi $, $e$ & $i$. The Mathematical Association of America, 2018.

[11] Řimnáčová, B.: Mocninné řady. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2020. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/kym38/

[12] Silagadze, Z. K.: The Basel problem: A physicist’s solution. Math. Intelligencer 41 (2019), 14–18. | DOI | MR

[13] Sullivan, B. W.: The Basel problem: numerous proofs. [online]. Dostupné z: https://www.math.cmu.edu/ bwsulliv/basel-problem.pdf

[14] Van Der Poorten, A., Apéry, R.: A proof that Euler missed: Apéry’s proof of the irrationality of $\zeta (3)$. Math. Intelligencer 1 (1979), 195–203. | DOI | MR

[15] Veselý, J.: Komplexní analýza pro učitele. Karolinum, Praha, 2000.