Šarkovského věta a diferenciální rovnice III

Andres, Jan

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Tome 64 (2019) no. 2, pp. 91-103

Résumé (VO)

Článek je pokračováním našich dřívějších stejnojmenných příspěvků, v nichž jsme vyšetřovali možnosti aplikace různých variant Šarkovského věty o koexistenci periodických bodů a orbit pro intervalová zobrazení na diferenciální rovnice a inkluze. I tentokrát se budeme zabývat stejným problémem, avšak pro zobrazení na kružnici. Na rozdíl od intervalových zobrazení zde totiž mj. nemusí periodické orbity implikovat existenci pevných bodů, což představuje největší překážku. Na druhé straně lze takto rozšířit aplikace o další zajímavé případy.

Détail

Classification : 37-01, 37E10

Bibliographie

[1] Alsedà, L., Llibre, J., Misiurewicz, M.: Combinatorial dynamics and entropy in dimension one. 2nd ed., World Scientific, Singapore, 2000. | MR

[2] Andres, J.: Šarkovského věta a diferenciální rovnice. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 49 (2004), 151–159.

[3] Andres, J.: Šarkovského věta a diferenciální rovnice, II. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 56 (2011), 143–149.

[4] Andres, J.: On the coexistence of irreducible orbits of coincidences for multivalued admissible maps on the circle via Nielsen theory. Topology Appl. 221 (2017), 596–609. | DOI | MR

[5] Andres, J.: Randomization of Sharkovsky-type results on the circle. Stoch. Dyn. 17 (2017), 1–21. | DOI | MR

[6] Andres, J.: Randomized Sharkovsky-type theorems and their application to random impulsive differential equations and inclusions on tori. Stoch. Dyn. 19 (2019), 1–30. | DOI | MR

[7] Andres, J.: Coexistence of periodic solutions with various periods of impulsive differential equations and inclusions on tori via Poincaré operators. Topology Appl. 255 (2019), 126–140. | DOI | MR

[8] Andres, J., Bednařík, D., Pastor, K.: On the notion of derivo-periodicity. J. Math. Anal. Appl. 303 (2005), 405–417. | DOI | MR

[9] Andres, J., Fišer, J.: Sharkovsky-type theorems on $S^1$ applicable to differential equations. Internat. J. Bifur. Chaos. 27 (2017), 1–21. | DOI | MR

[10] Andres, J., Górniewicz, L.: Topological fixed point principles for boundary value problems. Kluwer, Dordrecht, 2003. | MR

[11] Andres, J., Pastor, K.: Block–Sharkovsky type theorem on the circle applicable to differential equations and inclusions. Internat. J. Bifur. Chaos 28 (4) (2018), 1850056, 1–11. | DOI | MR

[12] Andres, J., Pastor, K.: A multivalued version of the Block–Sharkovsky theorem applicable to differential equations on the circle. Internat. J. Bifur. Chaos 28 (11) (2018), 1–15. | MR

[13] Andres, J., Pastor, K.: Sharp Block–Sharkovsky type theorem for multivalued maps on the circle and its application to differential equations and inclusions. Internat. J. Bifur. Chaos (2019), v tisku. | MR

[14] Andres, J., Pastor, K., Šnyrychová, P.: A multivalued version of Sharkovskii’s theorem holds with at most two exceptions. J. Fixed Point Theory Appl. 2 (2007), 153–170. | DOI | MR

[15] Bernhardt, C.: Periodic orbits of continuous mappings of the circle without fixed points. Ergodic Theory Dynam. Systems 1 (1981), 413–417. | DOI | MR

[16] Block, L.: Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point. Proc. Amer. Math. Soc. 82 (1981), 481–486. | DOI | MR

[17] Block, L., Guckenheimer, J., Misiurewicz, M., Young, L.-S.: Periodic points and topological entropy of one-dimensional maps. In: Nitecki, Z., Robinson, C. (eds.): Global Theory of Dynamical Systems, Lect. Notes in Math. 819, Springer, Berlin, 1980, 18–34. | MR

[18] Brown, R. F., Furi, M., Górniewicz, L., Jiang, B.: Handbook of topological fixed point theory. Springer, Berlin, 2005. | MR

[19] Coddington, E. A., Levinson, N.: Theory of differential equations. McGraw-Hill, New York, 1955. | MR

[20] Denjoy, A.: Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. J. Math. Pures Appl. 11 (1932), 333–376.

[21] Efremova, L. S.: Periodičeskije orbity i stěpeň nepreryvnogo otobraženija okružnosti. Dif. Integr. Urav. (Gor’kii) 2 (1978), 109–115.

[22] Farkas, M.: Periodic motions. Springer, Berlin, 1994. | MR

[23] Hasselblatt, B., Katok, A.: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003. | MR

[24] van Kampen, E. R.: The topological transformations of a simple closed curve into itself. Amer. J. Math. 57 (1935), 142–152. | DOI | MR

[25] Katok, A., Hasselblatt, B.: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. | MR

[26] Misiurewicz, M.: Periodic orbits of maps of degree one of a circle. Ergodic Theory Dynam. Systems 2 (1982), 221–227. | DOI | MR

[27] Poincaré, H.: Sur les courbes définies par les équations différentielles (iii). J. Math. Pures Appl. 1 (1885), 167–244.

[28] Siegberg, H. W.: Chaotic mappings on ${S}^1$, periods one, two, three imply chaos on ${S}^1$. In: Proc. Conf. Numerical solutions of nonlinear equations (Bremen, 1980), Lect. Notes in Math. 878, Springer, Berlin, 1981, 351–370. | MR

[29] Šarkovskij, A. N.: Sosuščestvovanije ciklov nepreryvnogo otobraženija prjamoj v sebja. Ukrain. Matem. Žurn. 1 (1964), 61–71.

[30] Zhao, X.: Periodic orbits with least period three on the circle. Fixed Point Theory Appl. (Article ID 194875) (2008), 1–8. | MR