Sur les Conséquences D'un Théorème de j. Liouville en Matière de Possibilité et de L'impossibilité de Trouver Effectivement des Solutions Particulières D'équations de Riccati et Linéaire du Second Ordre

Andrzej Kapcia

Publications de l'Institut Mathématique, _N_S_83 (2008) no. 97, p. 87

Résumé

Dans les travaux consacrés \`a ``la méthode de l'intégrale particuli\`ere'', on introduit les solutions particuli\`eres dépendant respectivement: de coefficients de l'équation de Riccati (1.1), de coefficients de l'équation linéaire et homog\`ene du second ordre (1.2), et de certaines fonctions arbitraires $\mu_k$ $(k=1,\dots,6)$. Cette Note est consacrée aux théor\`emes qui disent, qu'il existe ``continuum'' de coefficients $a,\ b,\ c$ de l'équation (1.1), et respectivement il existe ``continuum'' de coefficients $f,\ g,\ h$ de l'équation (1.2), pour lesquels on ne peut pas trouver effectivement les fonctions $\mu_k$, et par le m\^eme, on ne peut pas construire effectivement les solutions particuli\`eres des équations consedérées. Dans les démonstrations des théor\`emes cités, on profit de l'équivalence des crit\`eres de l'intégrabilité effective d'équtions (1.1) et (1.2) -- plus t\^ot démontrée -- et du résultat de J. Liouville consacré \`a l'impossibilité d'obtenir effectivement la solution générale de l'équation spéciale de Riccati \`a l'aide de fonctions élémentaires. On donne aussi les classes d'équations (1.1) et (1.2) desquelles chacune comprend deux sous-classes séparables -- l'une toujours effectivement intégrable et la deuxi\`eme pour laquelle ceci est impossible.

Détail

Classification : 34A 34L
Keywords: differential equation, linear, particular solution, effective integrability, general solution