En quoi la crise des fondements des mathématiques est-elle terminée ?

Barot, Emmanuel

Philosophia Scientiae, Aperçus philosophiques en logique et en mathématiques, Tome 9 (2005) no. 2, pp. 23-39

Résumé (VO)

La «crise»  des fondements des mathématiques (1902-1931) fut l'agent de l'avènement du paradigme axiomatico-ensembliste dans lequel la plupart des tensions et stratégies fondationnelles continuent d'être formulées. Au terme d'une synthèse de ces interrogations et de leurs traductions techniques, qui suit le fil conducteur de l'opposition constructif / non-constructif, on montre quelques-unes des subversions, encore minoritaires, que subit ce paradigme. On insiste alors sur les voies possibles de son dépassement, en pointant l'essoufflement conceptuel qui transparaît derrière le dynamisme de l'une de ses branches actuelles, la théorie descriptive des ensembles. L'objectif est ainsi de contribuer à l'examen distancié, proprement épistémologique, de la nature des étapes du développement des mathématiques au 20${}^{\text{ème}}$ siècle.

Abstract

The “crisis in the foundations of mathematics”  (1902-1931) contributed to the advent of an axiomatic set-theoretic paradigm in terms of which the pressing questions of “Foundations of Mathematics” are still treated. Following the opposition between constructive and non-constructive philosophical and technical approaches, we provide the reader with a synthesis of these main questions, and present some minority insights which try to subvert this paradigm. We claim that the fruitful contemporary descriptive set theory, for example, actually reveals that this paradigm is getting exhausted conceptually speaking, and must be transcended. We thus hope to contribute towards a properly epistemological task : examining the nature of the stages of mathematical developments in 20${}^{th}$ century.