Rational torsion in elliptic curves and the cuspidal subgroup

Agashe, Amod¹

¹Department of Mathematics Florida State University 1017 Academic Way Tallahassee, FL 32306, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 81-91

Abstract (VO)

Let $A$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ of square free conductor $N$ that has a rational torsion point of prime order $r$ such that $r$ does not divide $6N$. We show that then $r$ divides the order of the cuspidal subgroup $C$ of $J_0\left(N\right)$. If $A$ is optimal, then viewing $A$ as an abelian subvariety of $J_0\left(N\right)$, our proof shows more precisely that $r$ divides the order of $A\cap C$. Also, under the hypotheses above minus the hypothesis that $r$ does not divide $N$, we show that for some prime $p$ that divides $N$, the eigenvalue of the Atkin–Lehner involution $W_p$ acting on the newform associated to $A$ is $-1$.

Résumé

Soit $A$ une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ de conducteur $N$ sans facteurs carré, ayant un point rationnel d’ordre un nombre premier $r$ ne divisant pas $6N$. On montre alors que $r$ divise l’ordre du sous-groupe cuspidal $C$ de $J_0\left(N\right)$. Si $A$ est une courbe de Weil, on peut la considérer comme une sous-variéte abélienne de $J_0\left(N\right)$. Notre preuve montre plus precisément que $r$ divise l’ordre de $A\cap C$. De plus, sous les hypothèses plus haut, mais sans supposer que $r$ ne divise pas $N$, on montre qu’il existe un facteur premier $p$ de $N$ tel que la valeur propre de l’involution d’Atkin–Lehner $W_p$ agissant sur la forme modulaire associée à $A$ est égale à $-1$.

Détail

Reçu le : 2016-02-21
Accepté le : 2016-09-12
Accepté après révision le : 2017-01-30
Publié le : 2018-05-15
DOI : 10.5802/jtnb.1017

Classification : 11G05, 14H52
Keywords: Elliptic curves, torsion subgroup, cuspidal subgroup

Licence : CC-BY-ND 4.0

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