Ramified extensions of degree $p$ and their Hopf–Galois module structure

Elder, G. Griffith

doi:10.5802/jtnb.1014

Ramified extensions of degree

p

and their Hopf–Galois module structure

Elder, G. Griffith ¹

¹Department of Mathematics University of Nebraska at Omaha Omaha, NE 68182-0243, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 19-40

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Abstract (VO)
Résumé

Cyclic, ramified extensions $L / K$ of degree $p$ of local fields with residue characteristic $p$ are fairly well understood. They are defined by an Artin–Schreier equation, unless $char (K) = 0$ and $L = K (\sqrt[p]{π_{K}})$ for some prime element $π_{K} \in K$ . Moreover, through the work of Bertrandias–Ferton ( $char (K) = 0$ ) and Aiba ( $char (K) = p$ ), much is known about the Galois module structure of the ideals in such extensions: the structure of each ideal $𝔓_{L}^{n}$ as a module over its associated order $𝔄_{K [G]} (n) = {x \in K [G] : x 𝔓_{L}^{n} \subseteq 𝔓_{L}^{n}}$ where $G = Gal (L / K)$ . The purpose of this paper is to extend these results to separable, ramified extensions of degree $p$ that are not Galois.

Les extensions cycliques ramifiées $L / K$ de degré $p$ d’un corps local dont la caractéristique résiduelle est $p$ sont plutôt bien comprises. Elles sont définies par une équation d’Artin–Schreier sauf lorsque $char (K) = 0$ et $L = K (\sqrt[p]{π_{K}})$ pour une certaine uniformisante $π_{K} \in K$ . De plus, depuis les travaux de Bertrandias–Ferton ( $char (K) = 0$ ) puis Aiba ( $char (K) = p$ ), plusieurs résultats sont connus sur la structure galoisienne des idéaux de telles extensions : on sait par exemple décrire la structure de chaque idéal $𝔓_{L}^{n}$ comme module sur son ordre associé $𝔄_{K [G]} (n) = {x \in K [G] : x 𝔓_{L}^{n} \subseteq 𝔓_{L}^{n}}$ , où $G = Gal (L / K)$ . Le but de cet article est d’étendre ces résultats aux extensions séparables et ramifiées de degré $p$ qui ne sont pas galoisiennes.

Reçu le : 2015-10-19
Révisé le : 2017-04-19
Accepté le : 2017-04-19
Publié le : 2018-05-15

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1014

Classification : 11S15, 11R33, 16T05
Keywords: Artin–Schreier equation, Galois module structure

Affiliations des auteurs :

Elder, G. Griffith ¹

¹ Department of Mathematics University of Nebraska at Omaha Omaha, NE 68182-0243, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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