Generators for the elliptic curve $y^2=x^3-nx$

Fujita, Yasutsugu¹  ; Terai, Nobuhiro²

¹College of Industrial Technology Nihon University 2-11-1 Shin-ei, Narashino, Chiba 275–8576 Japan
²Division of General Education Ashikaga Institute of Technology 268-1 Omae, Ashikaga, Tochigi 326–8558 Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 403-416

Abstract (VO)

Let $E$ be an elliptic curve given by $y^2=x^3-nx$ with a positive integer $n$. Duquesne in 2007 showed that if $n=(2k^2-2k+1)(18k^2+30k+17)$ is square-free with an integer $k$, then certain two rational points of infinite order can always be in a system of generators for the Mordell-Weil group of $E$. In this paper, we generalize this result and show that the same is true for infinitely many binary forms $n=n(k,l)$ in $\mathbb{Z}[k,l]$.

Résumé

Soit $E$ la courbe elliptique définie par $y^2=x^3-nx$ où $n$ est un entier strictement positif. En $2007$, Duquesne a démontré que, pour $k$ entier, si $n=(2k^2-2k+1)(18k^2+30k+17)$ est sans facteur carré, alors deux points rationnels spécifiques peuvent toujours se compléter en un système de générateurs du groupe de Mordell-Weil associé à $E$. Dans ce papier, nous généralisons ce résultat en le montrant pour des entiers $n=n(k,l)$ pour une infinité de formes binaires $n(k,l)\in \mathbb{Z}[k,l]$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.769