$L_2$ discrepancy of generalized Zaremba point sets

Faure, Henri¹ ; Pillichshammer, Friedrich² 

¹Institut de Mathématiques de Luminy, U.M.R. 6206 CNRS 163 avenue de Luminy, case 907 13288 Marseille Cedex 09, France
²Institut für Finanzmathematik, Universität Linz Altenbergerstraße 69 A-4040 Linz, Austria

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 1, pp. 121-136

Abstract (VO)

We give an exact formula for the $L_2$ discrepancy of a class of generalized two-dimensional Hammersley point sets in base $b$, namely generalized Zaremba point sets. These point sets are digitally shifted Hammersley point sets with an arbitrary number of different digital shifts in base $b$. The Zaremba point set introduced by White in 1975 is the special case where the $b$ shifts are taken repeatedly in sequential order, hence needing at least $b^b$ points to obtain the optimal order of $L_2$ discrepancy. On the contrary, our study shows that only one non-zero shift is enough for the same purpose, whatever the base $b$ is.

Résumé

Nous donnons une formule exacte pour la discrépance $L_2$ des ensembles généralisés de Zaremba, une sous-classe des ensembles plans généralisés de Hammersley en base $b$. Ces ensembles de points sont des décalés digitaux des ensembles de Hammersley obtenus avec un nombre arbitraire des différents décalages en base $b$. L’ensemble de Zaremba introduit par White en 1975 est le cas particulier où les $b$ décalages possibles sont pris et répétés dans l’ordre, ce qui exige au moins $b^b$ points pour atteindre la discrépance $L_2$ optimale. Au contraire, notre étude montre qu’il suffit d’un seul décalage non nul pour obtenir le même résultat, quelle que soit la base $b$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.753