The fluctuations in the number of points on a family of curves over a finite field

Xiong, Maosheng¹

¹Department of Mathematics Hong Kong University of Science and Technology Clear Water Bay, Kowloon P. R. China

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 755-769

Abstract (VO)

Let $l\ge 2$ be a positive integer, ${𝔽}_q$ a finite field of cardinality $q$ with $q\equiv 1(modl)$. In this paper, inspired by [6, 3, 4] and using a slightly different method, we study the fluctuations in the number of ${𝔽}_q$-points on the curve ${ℂ}_F$ given by the affine model ${ℂ}_F:Y^l=F\left(X\right)$, where $F$ is drawn at random uniformly from the set of all monic $l$-th power-free polynomials $F\in {𝔽}_q\left[X\right]$ of degree $d$ as $d\to \infty$. The method also enables us to study the fluctuations in the number of ${𝔽}_q$-points on the same family of curves arising from the set of monic irreducible polynomials.

Résumé

Soit $l\ge 2$ un entier, ${𝔽}_q$ un corps fini de cardinal $q$ avec $q\equiv 1(modl)$. Dans cet article, inspiré par [6, 3, 4] et en utilisant une méthode légèrement différente, nous étudions les fluctuations du nombre de ${𝔽}_q$-points de la courbe ${ℂ}_F$ donnée par le modèle affine ${ℂ}_F:Y^l=F\left(X\right)$, où $F$ parcourt aléatoirement et uniformément l’ensemble des polynômes $F\in {𝔽}_q\left[X\right]$ unitaires, sans puissance $l$-ième, de degré $d$ quand $d\to \infty$. La méthode nous permet aussi d’étudier les fluctuations du nombre de ${𝔽}_q$-points de la même famille de courbes provenant de l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.745

Classification : 11G20, 11T55