On the generation of the coefficient field of a newform by a single Hecke eigenvalue

Koo, Koopa Tak-Lun¹ ; Stein, William¹ ; Wiese, Gabor²

¹Department of Mathematics University of Washington Box 354350 Seattle, WA 98195 USA
²Institut für Experimentelle Mathematik Universität Duisburg-Essen Ellernstraße 29 45326 Essen Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 20 (2008) no. 2, pp. 373-384

Abstract (VO)

Let $f$ be a non-CM newform of weight $k\ge 2$. Let $L$ be a subfield of the coefficient field of $f$. We completely settle the question of the density of the set of primes $p$ such that the $p$-th coefficient of $f$ generates the field $L$. This density is determined by the inner twists of $f$. As a particular case, we obtain that in the absence of nontrivial inner twists, the density is $1$ for $L$ equal to the whole coefficient field. We also present some new data on reducibility of Hecke polynomials, which suggest questions for further investigation.

Résumé

Soit $f$ une forme nouvelle de poids $k\ge 2$ sans multiplication complexe. Soit $L$ un sous-corps du corps des coefficients de $f$. Nous résolvons complètement la question de la densité de l’ensemble des premier $p$ tels que le $p$-ième coefficient de $f$ engendre $L$. Cette densité est déterminée par les tordues intérieures de $f$. Comme cas particulier, on obtient que cette densité est $1$ pour $L$ le corps des coefficients de $f$, pourvu que $f$ n’ait pas de tordue intérieure non-triviale. Nous présentons aussi quelques données nouvelles sur la réductibilité de polynômes de Hecke suggérant des questions pour des recherches à venir.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.633