A generalization of Scholz’s reciprocity law

Budden, Mark¹ ; Eisenmenger, Jeremiah² ; Kish, Jonathan³

¹Department of Mathematics Armstrong Atlantic State University 11935 Abercorn St. Savannah, GA USA 31419
²Department of Mathematics University of Florida PO Box 118105 Gainesville, FL USA 32611-8105
³Department of Mathematics University of Colorado at Boulder Boulder, CO USA 80309

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 3, pp. 583-594

Abstract (VO)

We provide a generalization of Scholz’s reciprocity law using the subfields $K_{2^{t-1}}$ and $K_{2^t}$ of $\mathbb{Q}\left({\zeta }_p\right)$, of degrees $2^{t-1}$ and $2^t$ over $\mathbb{Q}$, respectively. The proof requires a particular choice of primitive element for $K_{2^t}$ over $K_{2^{t-1}}$ and is based upon the splitting of the cyclotomic polynomial ${\Phi }_p\left(x\right)$ over the subfields.

Résumé

Nous donnons une généralisation de la loi de réciprocité de Scholz fondée sur les sous-corps $K_{2^{t-1}}$ et $K_{2^t}$ de $\mathbb{Q}\left({\zeta }_p\right)$ de degrés $2^{t-1}$ et $2^t$ sur $\mathbb{Q}$, respectivement. La démonstration utilise un choix particulier d’élément primitif pour $K_{2^t}$ sur $K_{2^{t-1}}$ et est basée sur la division du polynôme cyclotomique ${\Phi }_p\left(x\right)$ sur les sous-corps.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.604