A contribution to infinite disjoint covering systems

Barát, János¹ ; Varjú, Péter P.¹ 

¹Bolyai Institute University of Szeged Aradi vértanúk tere 1. Szeged, 6720 Hungary

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 1, pp. 51-55

Abstract (VO)

Let the collection of arithmetic sequences ${\{d_{i}n+b_i:n\in \mathbb{Z}\}}_{i\in I}$ be a disjoint covering system of the integers. We prove that if $d_i=p^k{q}^l$ for some primes $p,q$ and integers $k,l\ge 0$, then there is a $j\ne i$ such that $d_i|d_j$. We conjecture that the divisibility result holds for all moduli.

A disjoint covering system is called saturated if the sum of the reciprocals of the moduli is equal to $1$. The above conjecture holds for saturated systems with $d_i$ such that the product of its prime factors is at most $1254$.

Résumé

Supposons que la famille de suites arithmétiques ${\{d_{i}n+b_i:n\in \mathbb{Z}\}}_{i\in I}$ soit un recouvrement disjoint des nombres entiers. Nous prouvons qui si $d_i=p^k{q}^l$ pour des nombres premiers $p,q$ et des entiers $k,l\ge 0$, il existe alors un $j\ne i$ tel que $d_i|d_j$. On conjecture que le résultat de divisibilité est vrai quelques soient les raisons $d_i$.

Un recouvrement disjoint est appelé saturé si la somme des inverses des raisons est égale à 1. La conjecture ci-dessus est vraie pour des recouvrements saturés avec des $d_i$ dont le produit des facteurs premiers n’est pas supérieur à $1254$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.476