The distribution of the values of a rational function modulo a big prime

Zaharescu, Alexandru

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 863-872

Abstract (VO)

Given a large prime number $p$ and a rational function $r\left(X\right)$ defined over ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, we investigate the size of the set $\left\{x\in {𝔽}_p:\tilde{r}\left(x\right)>\tilde{r}(x+1)\right.$, where $\tilde{r}\left(x\right)$ and $\tilde{r}(x+1)$ denote the least positive representatives of $r\left(x\right)$ and $r(x+1)$ in $\mathbb{Z}$ modulo $p\mathbb{Z}$.

Résumé

Étant donnés un grand nombre premier $p$ et une fonction rationnelle $r\left(X\right)$ définie sur ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, on évalue la grandeur de l’ensemble $\left\{x\in {𝔽}_p:\tilde{r}\left(x\right)>\tilde{r}(x+1)\right\}$, où $\tilde{r}\left(x\right)$ et $\tilde{r}(x+1)$ sont les plus petits représentants de $r\left(x\right)$ et $r(x+1)$ dans $\mathbb{Z}$ modulo $p\mathbb{Z}$.