Sur une condition suffisante pour l’existence de mesures $p$-adiques admissibles

Panchishkin, Alexei 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 805-829

Résumé (VO)

On donne une nouvelle condition suffisante pour l’existence des mesures $p$-adiques admissibles $\mu$ obtenues à partir de suites de distributions ${\Phi }_j(j\ge 0)$ à valeurs dans les espaces de formes modulaires. On utilise la projection caractéristique sur le sous-espace primaire associé à une valeur propre non nulle $\alpha$ de l’opérateur $U$ d’Atkin. Notre condition est exprimée en termes des congruences entre les coefficients de Fourier des formes modulaires ${\Phi }_j$. On montre comment vérifier ces congruences, et on traite plusieurs applications. On obtient donc une explication conceptuelle des formules de Yu.Manin pour les distributions attachées à la fonction $L_f(s,\chi )={\sum }_{n\ge 1}\chi \left(n\right)a_n{n}^{-s}$ d’une forme parabolique primitive $f={\sum }_{n\ge 1}{a}_n{q}^n\in S_k({\Gamma }_0\left(N\right),\psi )$ de poids $k\ge 2$.

Abstract

We give a new sufficient condition for the existence of admissible $p$-adic measures $\mu$ obtained from sequences of distributions ${\Phi }_j(j\ge 0)$ with values in spaces of modular forms. We use the characteristic projection on the primary subspace associated to a non zero eigenvalue $\alpha$ of the Atkin operator $U$. Our condition is expressed in terms of congruences between the Fourier coefficients of the modular forms ${\Phi }_j$. We show how to verify these congruences and we give several applications. So we get a conceptual explanation for the Yu.Manin’s formulas for the distributions attached to the $L$-function, $L_f(s,\chi )={\sum }_{n\ge 1}\chi \left(n\right)a_n{n}^{-s}$, of a primitive cuspform $f={\sum }_{n\ge 1}{a}_n{q}^n\in S_k({\Gamma }_0\left(N\right),\psi )$ of weight $k\ge 2$.