Fundamental domains for Shimura curves

Kohel, David R.  ; Verrill, Helena A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222

Abstract (VO)

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane $\mathscr{H}$ of a Shimura curve $X_0^D\left(N\right)$ associated with an order in a quaternion algebra $A/𝐐$. A fundamental domain for $X_0^D\left(N\right)$ realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves $X_0^6\left(1\right),X_0^{15}\left(1\right),\text{and}{X}_0^{35}\left(1\right)$. The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

Résumé

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura $X_0^D\left(N\right)$ associée à un ordre d’une algèbre de quaternions $A/\mathbb{Q}$. Un domaine fondamental pour $X_0^D\left(N\right)$ réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes $X_0^6\left(1\right),X_0^{15}\left(1\right)$ et $X_0^{35}\left(1\right)$. Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.