Résultats élémentaires sur certaines équations diophantiennes

Samuel, Pierre

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 2, pp. 629-646

Résumé (VO)

Dans des travaux profonds, W. Ljunggren a montré que, pour $a>0$ donné, les équations diophantiennes $x^4-a{y}^2=1$ and $x^2-a{y}^4=1$ ont au plus $1$ ou $2$ solutions non triviales. Par des méthodes élémentaires, je réponds ici à la question : pour quelles valeurs de $a$, premières ou analogues, ont-elles des solutions non-triviales ?

Abstract

Deep theorems of W. Ljunggren have shown that, for given $a>0$, the diophantine equations $x^4-a{y}^2=1$ and $x^2-a{y}^4=1$, have at most $1$ or $2$ non trivial solutions. By elementary methods, I give here an answer to the following question : for which values of $a$, prime or related, do these equations have non trivial solutions ?