Best simultaneous diophantine approximations of some cubic algebraic numbers

Chevallier, Nicolas 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 2, pp. 403-414

Abstract (VO)

Let $\alpha$ be a real algebraic number of degree $3$ over $\mathbb{Q}$ whose conjugates are not real. There exists an unit $\zeta$ of the ring of integer of $K=\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ for which it is possible to describe the set of all best approximation vectors of $\theta =(\zeta ,{\zeta }^2)$.’

Résumé

Soit $\alpha$ un nombre algébrique réel de degré $3$ dont les conjugués ne sont pas réels. Il existe une unité $\zeta$ de l’anneau des entiers de $K=\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ pour laquelle il est possible de décrire l’ensemble de tous les vecteurs meilleurs approximations de $\theta =(\zeta ,{\zeta }^2)$.