Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$

Godin, Marjory  ; Sodaïgui, Bouchaïb 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248

Résumé (VO)

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞l\left(k\right)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞l\left(k\right)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞l\left(k\right)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $𝒞l\left(k\right)$. Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $𝒞l\left(k\right)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $𝒞l\left(k\right)$ tout entier.

Abstract

Let $k$ be a number field and $𝒞l\left(k\right)$ its class group. A Galois extension of $k$ is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group $A_4$. Let $E/k$ be a cyclic extension of degree $3$. We calculate the Steinitz class, in $𝒞l\left(k\right)$, of every alternating extension containing $E$. Under the assumption that the class number of $k$ is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of $𝒞l\left(k\right)$ when the ring of integers of $E$ is free over that for $k$ or the order of $𝒞l\left(k\right)$ is not divisible by $3$. Next, we prove that the subset of $𝒞l\left(k\right)$ consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group $𝒞l\left(k\right)$.