The Lehmer constants of an annulus

Dubickas, Artūras  ; Smyth, Chris J.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420

Abstract (VO)

Let $M\left(\alpha \right)$ be the Mahler measure of an algebraic number $\alpha$, and $V$ be an open subset of $ℂ$. Then its \emph{Lehmer constant} $L\left(V\right)$ is inf $M{\left(\alpha \right)}^{1/deg\left(\alpha \right)}$, the infimum being over all non-zero non-cyclotomic $\alpha$ lying with its conjugates outside $V$. We evaluate $L\left(V\right)$ when $V$ is any annulus centered at $0$. We do the same for a variant of $L\left(V\right)$, which we call the transfinite Lehmer constant $L_{\infty }\left(V\right)$.\\ Also, we prove the converse to Langevin's Theorem, which states that $L\left(V\right)>1$ if $V$ contains a point of modulus $1$. We prove the corresponding result for $L_{\infty }\left(V\right)$.

Résumé

Soit $M\left(\alpha \right)$ la mesure de Mahler d'un nombre algébrique $\alpha$, et $V$ un ouvert de $ℂ$. Alors sa \emph{constante de Lehmer} $L\left(V\right)$ est égale à inf $M{\left(\alpha \right)}^{1/deg\left(\alpha \right)}$, l'infimum étant évalué sur tous les nombres algébriques non cyclotomiques $\alpha$ dont tous les conjugués sont à l'extérieur de $V$. Nous calculons $L\left(V\right)$ lorsque $V$ est une couronne centrée en $0$. Nous faisons de même pour la constante de Lehmer transfinie $L_{\infty }\left(V\right)$.\\ Nous démontrons également la réciproque d'un théorème de Langevin, qui affirme que $L\left(V\right)>1$ si $V$ contient un élément de module $1$, ainsi que le résultat analogue avec $L_{\infty }\left(V\right)$.