Computing all monogeneous mixed dihedral quartic extensions of a quadratic field

Gaál, István ; Nyul, Gábor

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 1, pp. 137-142

Abstract (VO)

Let $M$ be a given real quadratic field. We give a fast algorithm for determining all dihedral quartic fields $K$ with mixed signature having power integral bases and containing $M$ as a subfield. We also determine all generators of power integral bases in $K$. Our algorithm combines a recent result of Kable [9] with the algorithm of Gaál, Pethö and Pohst [6], [7]. To illustrate the method we performed computations for $M=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right),\mathbb{Q}\left(\sqrt{3}\right),\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right).$

Résumé

Soit $M$ un corps quadratique réel. Nous donnons un algorithme rapide pour déterminer tous les corps quartiques diédraux $K$ avec signature mixte, monogènes (i.e. ayant des bases d’entiers $\left\{1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\right\}$) et contenant $M$ comme sous-corps. Nous déterminons également tous les générateurs $\alpha$ des bases dans $K$ ayant cette forme. Notre algorithme combine un résultat récent de Kable [9] avec l’algorithme de Gaál, de Pethö et de Pohst [6], [7]. On applique la méthode à $M=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right),\mathbb{Q}\left(\sqrt{3}\right),\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right).$