On the cokernel of the Witt decomposition map

Nebe, Gabriele

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 489-501

Abstract (VO)

Let $R$ be a Dedekind domain with field of fractions $K$ and $G$ a finite group. We show that, if $R$ is a ring of $p$-adic integers, then the Witt decomposition map $\delta$ between the Grothendieck-Witt group of bilinear $KG$-modules and the one of finite bilinear $RG$-modules is surjective. For number fields $K,\delta$ is also surjective, if $G$ is a nilpotent group of odd order, but there are counterexamples for groups of even order.

Résumé

Soit $R$ un anneau de Dedekind et $K$ son corps de fractions. Soit $G$ un groupe fini. Si $R$ est un anneau d’entiers $p$-adiques, alors l’application $\delta$ de décomposition de Witt entre le groupe de Grothendieck-Witt des $KG$-modules bilinéaires et celui des $RG$-modules bilinéaires de torsion est surjective. Pour les corps de nombres $K$, on démontre que $\delta$ est surjective si $G$ est un groupe nilpotent d’ordre impair, et on donne des contre-exemples pour des groupes d’ordre pair.