The cyclic subfield integer index

de Smit, Bart

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 209-218

Abstract (VO)

In this note we consider the index in the ring of integers of an abelian extension of a number field $K$ of the additive subgroup generated by integers which lie in subfields that are cyclic over $K$. This index is finite, it only depends on the Galois group and the degree of $K$, and we give an explicit combinatorial formula for it. When generalizing to more general Dedekind domains, a correction term can be needed if there is an inseparable extension of residue fields. We identify this correction term for abelian extensions of type $(p,p)$.

Résumé

Dans cet article, nous nous intéressons à l’indice dans l’anneau des entiers d’une extension abélienne d’un corps de nombres $K$ du sous-groupe engendré par les entiers contenus dans des sous-corps cycliques sur $K$. Cet indice est fini et ne dépend que du groupe de Galois et du degré de $K$. Nous en donnons une expression combinatoire. Lorsqu’on considère plus généralement des anneaux de Dedekind, des termes correctifs apparaissent, s’il y a une extension inséparable du corps résiduel. Nous explicitons ces termes dans le cas d’une extension abélienne de type $(p,p)$.