De l’euclidianité de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)$ et $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)$ pour la norme

Cerri, Jean-Paul

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 103-126

Résumé (VO)

Cet article a pour objectif de présenter un algorithme permettant de montrer, à l’aide d’un ordinateur, l’euclidianité pour la norme du sous-corps réel maximal $K$ du corps cyclotomique $\mathbb{Q}\left({\zeta }_{32}\right)$ où ${\zeta }_{32}=e^{i\pi /16}$, corps totalement réel de degré $8$ et de discriminant $2147483648$, et plus précisément de prouver que $M\left(K\right)=\frac{1}{2}$. La méthode utilisée permet par ailleurs de prouver que pour $K=\mathbb{Q}({\zeta }_{16}+{\zeta }_{16}^{-1})$, on a également $M\left(K\right)=\frac{1}{2}$ (conjecture de H. Cohn et J. Deutsch). Les résultats relatifs à ce cas sont exposés en fin d’article.

Abstract

This article presents an algorithm which has allowed us to show, with the help of a computer, that the maximal real subfield $K$ of the cyclotomic field $\mathbb{Q}\left({\zeta }_{32}\right)$ where ${\zeta }_{32}=e^{i\pi /16}$, totally real number field of degree $8$ and discriminant $2147483648$, is norm-Euclidean, and more precisely, to prove that $M\left(K\right)=\frac{1}{2}$. Furthermore, it can be proved using the same method that if $K=\mathbb{Q}({\zeta }_{16}+{\zeta }_{16}^{-1})$, we also have $M\left(K\right)=\frac{1}{2}$ (as conjectured by H. Cohn and J. Deutsch). The results relative to this case are presented at the end of this paper.