The class number one problem for some non-abelian normal CM-fields of degree $24$

Lemmermeyer, F.  ; Louboutin, S. ; Okazaki, R.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 11 (1999) no. 2, pp. 387-406

Abstract (VO)

We determine all the non-abelian normal CM-fields of degree 24 with class number one, provided that the Galois group of their maximal real subfields is isomorphic to ${𝒜}_4$, the alternating group of degree $4$ and order $12$. There are two such fields with Galois group ${𝒜}_4\times {𝒞}_2$ (see Theorem 14) and at most one with Galois group SL${}_2\left({𝔽}_3\right)$ (see Theorem 18); if the generalized Riemann hypothesis is true, then this last field has class number $1$.

Résumé

Nous déterminons tous les corps de nombres de degré $24$, galoisiens mais non-abéliens, à multiplication complexe et tels que les groupes de Galois de leurs sous-corps totalement réels maximaux soient isomorphes à ${𝒜}_4$ (le groupe alterné de degré $4$ et d’ordre $12$) qui sont de nombres de classes d’idéaux égaux à $1$. Nous prouvons $\left(𝑖\right)$ qu’il y a deux tels corps de nombres de groupes de Galois ${𝒜}_4\times {𝒞}_2$ (voir Théorème $14$), $\left(\mathrm{𝑖𝑖}\right)$ qu’il y a au plus un tel corps de nombres de groupe de Galois $S{L}_2\left({𝔽}_3\right)$ (voir Théorème 18), et $\left(\mathrm{𝑖𝑖𝑖}\right)$ que sous l’hypothèse de Riemann généralisée ce dernier corps candidat est effectivement de nombre de classes d’idéaux égal à $1$.