Transcendance et fonctions modulaires

Gramain, François 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 11 (1999) no. 1, pp. 73-90

Résumé (VO)

Cette rédaction contient l'exposé fait aux Journées Arithmétiques 97 et une annexe concernant la méthode de Mahler. Le début de l'exposé présente les notions mises en jeu dans le cœur du sujet (courbes elliptiques et formes modulaires). Pour un traitement complet de ces notions on peut se référer à [Ser], [Lan1] et [Lan2]. Une preuve complète du théorème de Yuri Nesterenko se trouve, en dehors de l'article original ([Nes1] pour l'annonce et [Nes2] pour les démonstrations), dans les exposés de Michel Waldschmidt au Séminaire Bourbaki [Wal1] et à Carleton [Wal2]. Pour les résultats quantitatifs les plus récents, on pourra consulter [Nes3].

Abstract

After recalling links between elliptic curves and modular functions, we present, with numerous corollaries (in particular the algebraic independence of $\pi ,e^{\pi }$ and $\Gamma (1/4)$), the theorem obtained by Yuri Nesterenko in 1996 : \emph{if $E_2,E_1$ and $E_6$ are the three first Eisenstein series and if $q$ satisfies $0$ > $\left|q\right|>1$ (in both complex and $p$-adic cases), then the field $\mathbb{Q}(q,E_2\left(q\right),E_4\left(q\right),E_6\left(q\right))$ has transcendence degree at least $3$ over} $Q$. The origin of Nesterenko's work is the proof, in 1995 by a team of Saint-Étienne, of Mahler-Manin conjecture about the modular invariant $J-1728\frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}$: if $q\in ℂ$ or $q\in {ℂ}_p$ satisfies $0>\left|q\right|$ > $1$, then $q$ and $J\left(q\right)$ are not both algebraic}. An annex describes the transcendence method of Mahler and why it does not work in this case.