An analogue of Pfister's local-global principle in the burnside ring

Epkenhans, Martin

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 11 (1999) no. 1, pp. 31-44

Abstract (VO)

Let $N/K$ be a Galois extension with Galois group $𝒢$. We study the set $𝒯\left(𝒢\right)$ of $\mathbb{Z}$-linear combinations of characters in the Burnside ring $ℬ\left(𝒢\right)$ which give rise to $\mathbb{Z}$-linear combinations of trace forms of subextensions of $N/K$ which are trivial in the Witt ring W$\left(K\right)$ of $K$. In particular, we prove that the torsion subgroup of $ℬ\left(𝒢\right)/𝒯\left(𝒢\right)$ coincides with the kernel of the total signature homomorphism.

Résumé

Soit $N/K$ une extension galoisienne de groupe de Galois $𝒢$. On étudie l’ensemble $𝒯\left(𝒢\right)$ des combinaisons linéaires sur $\mathbb{Z}$ de caractères de l’anneau de Burnside $ℬ\left(𝒢\right)$, qui induisent des combinaisons $\mathbb{Z}$-linéaires des formes trace de sous-extensions de $N/K$ qui sont triviales dans l’anneau de Witt W$\left(K\right)$ de $K$. On montre que le sous-groupe de torsion de $ℬ\left(𝒢\right)/𝒯\left(𝒢\right)$ est le noyau de l’homomorphisme signature.