On computing subfields. A detailed description of the algorithm

Klüners, Jürgen

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 243-271

Abstract (VO)

Let $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ be an algebraic number field given by the minimal polynomial $f$ of $\alpha$. We want to determine all subfields $\mathbb{Q}\left(\beta \right)\subset \mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ of given degree. It is convenient to describe each subfield by a pair $(g,h)\in \mathbb{Z}\left[t\right]\times \mathbb{Q}\left[t\right]$ such that $g$ is the minimal polynomial of $\beta =h\left(\alpha \right)$. There is a bijection between the block systems of the Galois group of $f$ and the subfields of $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$. These block systems are computed using cyclic subgroups of the Galois group which we get from the Dedekind criterion. When a block system is known we compute the corresponding subfield using $p$-adic methods. We give a detailed description for all parts of the algorithm.

Résumé

Soit $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ un corps de nombres défini par le polynôme minimal de $\alpha$. Nous nous intéressons à déterminer les sous-corps $\mathbb{Q}\left(\beta \right)\subset \mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ de degré donné. Chaque sous-corps est décrit en donnant le polynôme minimal $g$ de $\beta$ et le plongement de $\beta$ dans $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$ donné par un polynôme $h$ tel que $h\left(\alpha \right)=\beta$. Il y a une bijection entre les systèmes de blocs du groupe de Galois de $f$ et les sous-corps de $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$. Ces systèmes de blocs sont calculés en utilisant les sous-groupes cycliques du groupe de Galois qui sont obtenus à partir du critère de Dedekind. Lorsqu’un système de blocs est connu, on calcule le sous-corps correspondants par des méthodes $p$-adiques. Nous présentons ici une description détaillée de l’algorithme.