Finitude de tours et $p$-tours $T$-ramifiées modérées, $S$-décomposées

Maire, Christian 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 47-73

Résumé (VO)

Soit $k$ un corps de nombres et soient $T$ et $S$ deux ensembles finis de places de $k$ ; on peut définir la tour de Hilbert de $k$, $T$-ramifiée modérée, $S$-décomposée. Ceci permet d’obtenir, par exemple, la notion de tour de Hilbert au sens classique et de tour de Hilbert au sens restreint. On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à partir d’un résultat d’Odlyzko, puis d’autre part deux critères de non-finitude, le premier étant une conséquence d’un résultat de Golod-Safarevic de théorie des $p$-groupes, le second provenant d’un résultat de Jaulent dans le cadre de la théorie des genres.

Abstract

Let $k$ be a number field and $T$ and $S$ two sets of places of $k$ ; we can define the $T$-tamely ramified and $S$-decomposed Hilbert tower of $k$. In particular, we have the notion of Hilbert tower in the classical sense and Hilbert tower in the narrow sense. We give a criterion of finiteness which is a consequence of a Odlyzko’s result and two criteria of non-finiteness, the first coming from the theorem of Golod-Safarevic in the theory of $p$-groups and the second from a work of Jaulent in genus theory.