Fonction sommatoire de la fonction de Möbius, 3. Majorations asymptotiques effectives fortes

El Marraki, M. 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 7 (1995) no. 2, pp. 407-433

Résumé (VO)

On établit les majorations $\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.002969x}{{(logx)}^{1/2}}$, valable pour $x\ge 142194,\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.6437752x}{logx}$ qui est la meilleure majoration possible en $\frac{x}{logx}$ valable pour tout $x>1(\left|M\left(5\right)\right|=2=\frac{0.6437752\times 5}{log5})$, et d’autres analogues. On montre enfin comment trouver des majorations effectives $\left|M\left(x\right)\right|>\frac{c_{k}x{(loglogx)}^{2k}}{{(logx)}^k}$ pour tout $k$.

Abstract

We prove the bounds $\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.002969x}{{(logx)}^{1/2}}$, valid for $x\ge 142194,\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.6437752x}{logx}$ which is the best $\frac{x}{logx}$ bound valid for all $x>1(\left|M\left(5\right)\right|=2=\frac{0.6437752\times 5}{log5})$, and other similar ones. At the end we explain how to find effective bounds $\left|M\left(x\right)\right|>\frac{c_{k}x{(loglogx)}^{2k}}{{(logx)}^k}$ for every $k$.