Elasticity of factorizations in atomic monoids and integral domains

Halter-Koch, Franz 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 7 (1995) no. 2, pp. 367-385

Abstract (VO)

For an atomic domain $R$, its elasticity $\rho \left(R\right)$ is defined by : $\rho \left(R\right)=sup\{m/n|u_1\cdots u_m=v_1\cdots v_n\text{for}\text{irreducible}{u}_j,v_i\in R\}$. We study the elasticity of one-dimensional noetherian domains by means of the more subtle invariants. We study the elasticity of one-dimensional noetherian domains by means of the more subtle invariants ${\mu }_m\left(R\right)$ defined by : ${\mu }_m\left(R\right)=sup\left\{n\right|u_1\cdots u_m=u_1\cdots v_n\text{for}\text{irreducible}{u}_j,v_i\in R\}$ . As a main result we characterize all orders in algebraic number fields having finite elasticity. On the way, we obtain a series of results concerning the invariants ${\mu }_m$ and $\rho$ for monoids and integral domains which are of independent interest.

Résumé

L'élasticité $\rho \left(R\right)$ d'un anneau d'intégrité atomique $R$ est définie par : $\rho \left(R\right)=sup\{m/n|u_1\cdots u_m=u_1\cdots v_n\text{pour}{u}_i\text{et}{v}_j\text{irréductibles}\text{dans}ℝ\}$. Nous étudions ici l'élasticité des anneaux d'intégrité noethériens au moyen des invariants plus fins. Nous étudions ici l'élasticité des anneaux d'intégrité noethériens au moyen des invariants plus fins ${\mu }_m\left(R\right)$ définis par : ${\mu }_m\left(R\right)=sup\left\{n\right|u_1\cdots u_m=u_1\cdots v_n\text{pour}{u}_i\text{et}{v}_j\text{irréductibles}\text{dans}R\}$. Le résultat principal que nous donnons permet de caractériser les anneaux d'entiers des corps de nombres qui ont une élasticité finie. Chemin faisant nous obtenons une série de résultats sur les invariants ${\mu }_m$ et $\rho$ des monoïdes et des anneaux d'intégrité qui ont un intérêt propre.