Sur les carrés dans certaines suites de Lucas

Mignotte, Maurice ; Pethö, Attila

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 5 (1993) no. 2, pp. 333-341

Résumé (VO)

Soit $a$ un entier $\ge 3$. Pour $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous considérons la suite de Lucas ${𝑢}_{𝑛}=({\alpha }^{𝑛}-{\beta }^{𝑛})/(\alpha -\beta )$. Nous montrons que, pour $a\ge 4,{𝑢}_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n>3$ sauf si $a=338$ et $n=4$.

Abstract

Let a be an integer $\ge 3$. If $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ and $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, we consider the Lucas sequence $u_n=({\alpha }^n-{\beta }^n)/(\alpha -\beta )$. We prove that for $a\ge 4,u_n$ is neither a square, nor a double or a triple square, nor six times a square for $n>3$, except for $a=338$ and $n=4$.