Topologie $p$-adique sur les mots

Pin, Jean-Éric

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 5 (1993) no. 2, pp. 263-281

Résumé

Cet article est une introduction aux aspects combinatoires de la distance $p$-adique et de la topologie $p$-adique sur les mots. On donne plusieurs définitions équivalentes de ces notions, illustrées par divers exemples et propriétés. Après avoir décrit de façon détaillée les ouverts, on démontre que la distance $p$-adique est uniformément équivalente à une distance obtenue à partir des coefficients binomiaux définis sur les mots. On donne également deux exemples de suites convergentes dans la topologie $p$-adique. Le premier exemple est constitué par la suite des puissances d’ordre $p^n$ d’un mot fixé, qui converge vers le mot vide. Le second est formé par la suite des préfixes du mot de Prouhet-Thue-Morse : pour chaque nombre premier $p$, on peut extraire de cette suite une sous-suite qui converge vers le mot vide dans la topologie $p$-adique. La plupart des démonstrations sont omises, à l’exception de celles qui tiennent en quelques lignes.