Solutions entières de l’équation $Y^m=f\left(X\right)$

Poulakis, Dimitrios 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 1, pp. 187-199

Résumé (VO)

Soit $K$ un corps de nombres. Dans ce travail nous calculons des majorants effectifs pour la taille des solutions en entiers algébriques de $K$ des équations, $Y^2=f\left(X\right)$, où $f\left(X\right)\in K\left[X\right]$ a au moins trois racines d’ordre impair, et $Y^m=f\left(X\right)$ où $m\ge 3$ et $f\left(X\right)\in K\left[X\right]$ a au moins deux racines d’ordre premier à $m$. On améliore ainsi les estimations connues ([2],[9]) pour les solutions de ces équations en entiers algébriques de $K$.

Abstract

Let $K$ be a number field. In this work we give effective upper bounds for the size of solutions in algebraic integers of $K$, of equations $Y^2=f\left(X\right)$, where $f\left(X\right)\in K\left[X\right]$ has at least three roots of odd order, and $Y^m=f\left(X\right)$ where $f\left(X\right)\in K\left[X\right]$ has at least two roots of order prime to $m$. We thus improve the known estimations ([2],[9]) for the solutions of these equations in algebraic integers of $K$.