Invariante Differentialoperatoren und die Frobenius-Zerlegung einer G-Varietät

I. Agricola

Journal of Lie theory, Tome 11 (2001) no. 1, pp. 81-109

Résumé

Sei G eine zusammenhängende reduktive komplexe algebraische Gruppe, die auf einer glatten affinen komplexen Varietät M wirke, und bezeichne Diff[G]{M} die G-invarianten algebraischen Differentialoperatoren auf M. Zerlegt man den Koordinatenring Aff{C}{M} in G-isotypische Komponenten, so zeigen wir, dass die hierbei auftretenden Vielfachheitenräume irreduzible, paarweise nicht äquivalente Diff[G]{M}-Moduln sind, zentralen Charakter haben und durch diesen eindeutig bestimmt sind. Als Anwendung beweisen wir, dass die G-Wirkung auf M genau dann vielfachheitenfrei ist, wenn der Quotient der Momentabbildung endlich ist. Anschliessend beschreiben wir die analoge Zerlegung für reelle Formen und zeigen anhand einiger singulärer Beispiele, dass für singuläre Varietäten ähnliche Ergebnisse nicht zu erwarten sind.